A满足矩阵方程A^2-A+E=0,证明A与E-A都可逆,并求其逆矩阵.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 10:36:16
请高手赐教...请给出详细步骤,最好含完整解题

证明: 因为 A^2-A+E=0
所以 A(E-A) = E
所以A可逆, 且 A^-1 = E-A

补充:
这是个定理, 教材中应该有的:
若AB=E, 则 A,B可逆, 且A^-1 = B, B^-1 = A

证明很简单.
因为 AB=E
两边求行列式 |A||B| = |E| = 1
所以 |A|≠0, |B|≠0
所以 A,B 可逆
所以 A^-1(AB) = A^-1
即 B = A^-1.